已知f(x)是二次函数,f'(x)是它的导函数,且对任意的x∈R,f'(x)=f(x+1)+x2恒成立,求f(x)的解析表达式.
已知f(x)是二次函数,f'(x)是它的导函数,且对任意的x∈R,f'(x)=f(x+1)+x2恒成立,求f(x)的解析表达式.
数学人气:966 ℃时间:2020-03-25 07:27:31
优质解答
设f(x)=ax
2+bx+c(其中a≠0),
则f'(x)=2ax+b,
∵f(x+1)=a(x+1)
2+b(x+1)+c=ax
2+(2a+b)x+a+b+c.
由已知,得2ax+b=(a+1)x
2+(2a+b)x+a+b+c,
∴
,解之,得a=-1,b=0,c=1,
∴f(x)=-x
2+1.
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