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△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式:S=c2-(a-b)2且a+b=2,求面积S的最大值.
△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式:S=c
2
-(a-b)
2
且a+b=2,求面积S的最大值.
数学
人气:955 ℃
时间:2019-10-29 22:24:24
优质解答
由余弦定理c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC及面积公式S=
1
2
absinC代入条件得
S=c
2
-(a-b)
2
=a
2
+b
2
-2abcosC-(a-b)
2
,即
1
2
absinC=2ab(1-cosC),
∴
1−cosC
sinC
=
1
4
,令1-cosC=k,sinC=4k(k>0)
由(1-k)
2
+(4k)
2
=cos
2
C+sin
2
C=1,得k=
2
17
,
∴sinC=4k=
8
17
∵a>0,b>0,且a+b=2,
∴S=
1
2
absinC=
4
17
ab≤
4
17
•
(a+b)
2
2
=
8
17
,当且仅当a=b=1时,S
max
=
8
17
.
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