已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等. (1)求a的值; (2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间; (3)若n为正整数,证明:10
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x
2+2ax+1(a为正常数),且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间;
(3)若n为正整数,证明:
10f( n )•( )g( n )<4.
数学人气:903 ℃时间:2019-08-21 18:53:16
优质解答
(1)由题意,f(0)=g(0),
|a|=1又a>0,
所以a=1.
(2)f(x)+g(x)=|x-1|+x
2+2x+1
当x≥1时,f(x)+g(x)=x
2+3x,它在[1,+∞)上单调递增;
当x<1时,f(x)+g(x)=x
2+x+2,它在
[ −, 1 )上单调递增.
(3)设
cn=10f( n )•( )g( n ),考查数列{c
n}的变化规律:
解不等式
<1,由c
n>0,上式化为
10•( )2n+3<1解得
n>−≈3.7,因n∈N得n≥4,于是,c
1≤c
2≤c
3≤c
4,而c
4>c
5>c
6>…
所以,
10f( n )•( )g( n )≤10f( 4 )•( )g( 4 )=103•( )25<4.
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