一列数排成一排a1a2a3...,an,...,满足an+1=1-1/(an+1),

一列数排成一排a1a2a3...,an,...,满足an+1=1-1/(an+1),
若a1=1,则a2007=( ) （2007福建公务员真题）
里面的解析是这样的：由an+1=1-1/(an+1),
可得:1/(an+1) – 1/an,即{1/an}是一个公差为1的等差数列,
首项为1/a1=1,那么1/a2007=1/2007
我看不懂啊,为什么由an+1=1-1/(an+1)可推出1/(an+1) – 1/an
为什么{1/an}是一个公差为1的等差数列?