设B是可逆矩阵,A是与B同阶的方阵才,且满足A2+AB+B2=0｛A平方B平方｝,证明A和B都是可逆矩阵.

A^2+AB+B^2=0
-A^2 -AB = B^2
A(-A-B) = B^2
因为B可逆,所以：
A(-A-B)B^(-1)B^(-1) = B^2B^(-1)B^(-1) = E ,E 为单位阵.
所以 A 有逆 (-A-B)B^(-1)B^(-1),于是A可逆.
补充：题目的第一句是 “设B是可逆矩阵”.B是可逆阵是题设条件,无需证明.如果B不可逆,结论不成立.例如：A=B=0