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在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边,不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立. (1)求角C的最大值; (2)若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小.
在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边,不等式x
2
cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立.
(1)求角C的最大值;
(2)若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小.
数学
人气:923 ℃
时间:2019-08-21 15:49:25
优质解答
(1)易知cosC=0不满足条件,因此cosC≠0,
由不等式x
2
cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立,
∴△=16sin
2
C-24cosC≤0,cosC>0,化为2cos
2
C+3cosC-2≥0,
解得
cosC≥
1
2
,
又0<C<π,当cosC=
1
2
时,角C取得最大值
π
3
.
(2)角C取得最大值时为
π
3
,
∵a=2b,根据正弦定理可得sinA=2sinB,
∴
sin(
2π
3
−B)=2sinB
,化为cosB=
3
sinB,与sin
2
B+cos
2
B=1联立解得cos
2
B=
3
4
.
∴a=2b,∴B<A,∴
cosB=
3
2
.
∴B=
π
6
.
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△abc三内角a.b.c的对边分别为a.b.c,x的不等式x2cosc+4xsinc+6>=0对一切实数x恒成立
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