直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=3 （1）求证：平面AB1C⊥平面B1CB； （2）求三棱锥A1-AB1C的体积．

（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
则BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，（3分）
又由于AC=BC=BB₁=1，AB₁=

3

，则AB=

2

则由AC²+BC²=AB²可知，AC⊥BC，（6分）
又由上BB₁⊥底面ABC可知BB₁⊥AC，则AC⊥平面B₁CB，
所以有平面AB₁C⊥平面B₁CB；（9分）
（2）三棱锥A₁-AB₁C的体积VA1−AB1C ＝VB1−A1AC＝

1

3

×

1

2

×1＝

1

6