P为角ABC中任意一点,延长AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于D、E、F求证：AD+AE+CF>1/2(AB+BC+CA)

因为三角形中两边之和大于第三边,所以
PA+PF>AF (1)
PF+PB>FB (2)
PB+PD>BD (3)
PD+PC>DC (4)
PC+PE>CE (5)
PE+PA>EA (6)
注意到PA+PD=AD,PB+PE=BE,PC+PF=CF 以及 AF+BF=AB,BD+DC=BC,CE+EA=AC
将以上6式相加即知左边是 2(AD+BE+CF),右边是 AB+BC+CA.
所以 2(AD+BE+CF)>AB+BC+CA,因此 AD+BE+CF>1/2(AB+BC+CA).