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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,有以下命题: ①f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x
已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,有以下命题:
①f(x)的解析式为:f(x)=x
3
-4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于零,则下列选项正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
数学
人气:113 ℃
时间:2019-08-20 06:56:47
优质解答
∵函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,∴c=0
对函数f(x)求导,得,f′(x)=3x
2
+2ax+b,
∵在x=±1处的切线斜率均为-1,∴f′(1)=1,f′(-1)=1,
即,3+2a+b=-1,3-2a+b=-1
解得a=0,b=-4
∴(x)=x
3
-4x,x∈[-2,2],①正确.
f′(x)=3x
2
-4,令f′(x)=0,得,x=
±
2
3
3
,∴f(x)的极值点有两个,②错误
f(-2)=0,f(-
2
3
3
)=
16
3
6
,f(
2
3
3
)=-
16
3
6
,f(2)=0
∴f(x)的最大值为
16
3
6
,最小值为-
16
3
6
,最大值与最小值之和等于零.③正确.
故选B
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