已知二次函数f（x）=ax2+bx（a、b为常数且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有等根． （1）求f（x）的解析式； （2）函数f（x）在（x∈[t，t+1]，t∈R）的最大值为u（t），求u

（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴函数的对称轴为x=1，即−

b

2a

=1
∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-

1

2

∴f(x)＝−

1

2

x2+x．
（2）∵f(x)＝−

1

2

x2+x的开口向下，对称轴为x=1
∴当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上为减函数，最大值为u（t）=f（t）=-

1

2

t²+t
当0＜t＜1时，函数f（x）最大值为u（t）=f（1）=

1

2

当t≤0时，函数f（x）在[t，t+1]上为增函数，最大值为u（t）=f（t+1）=-

1

2

t²+

1

2

∴u(t)＝

− 1 2 t2+t        (t≥ 1) 1 2 − 1 2 t2+ 1 2     (t≤ 0)

(0＜t＜1)