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求证:在区间(1,+无穷)上,函数f(x)=1/2x^2+lnx的图像总在函数g(x)=2/3x^3的下方
求证:在区间(1,+无穷)上,函数f(x)=1/2x^2+lnx的图像总在函数g(x)=2/3x^3的下方
要详细的过程
数学
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时间:2019-08-20 09:00:37
优质解答
g(x)-f(x)
=(2/3)x^3-(1/2)x^2-lnx
求导后得
=2x^2-x-(1/x)
=x(2x-1)-(1/x)
因为范围是(1,+无穷),所以2x-1>1,x>1,所以x(2x-1)>1,又因为(1/x)<1,所以这个导数>0,所以g(x)-f(x)单调增.
g(1)-f(1)=2/3-1/2>0
所以在(1,+无穷),f(x)
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f(x)=1/2x²+lnx 求证:在x≥1时,f(x)的图像在函数g(x)=2/3x^3的下方
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