第一个问题:
∵f(x)=(1/2)x^2-alnx, ∴f′(x)=x-a/x=(x^2-a)/x.
令f′(x)=(x^2-a)/x>0,得:x^2-a>0、x>0;或x^2-a<0、x<0.
∴x^2>a、x>0;或x^2<a、x<0.
考虑到函数的定义域,需要x>0. ∴只有:x^2>a、x>0.
考查x^2>a、x>0,当a≦0时,x>0. 当a>0时,x>√a.
∴当a≦0时,函数的增区间是(0,+∞)、没有减区间.
当a>0时,函数的增区间是(√a,+∞)、函数的减区间是(0,√a).
第二个问题:
令F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3.
求导数,得:F′(x)=x+1/x-2x^2、 F″(x)=1-1/x^2-4x.
显然,当x>1时,F″(x)=1-1/x^2-4x<0,
∴当x>1时,F′(x)=x+1/x-2x^2 是减函数,而F′(1)=1+1-2=0,
∴当x>1时,F′(x)<0, ∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 是减函数,
又F(1)=1/2+0-(2/3)=3/6-4/6=-1/6<0,
∴当x>1时,F(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3 <0,
∴(1/2)x^2+lnx<(2/3)x^3 .
已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx
已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx
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