已知函数f(x)=2x-12x+1． （1）求函数的值域； （2）判断并证明函数的单调性．

（1）∵2x=

1+y

1-y

，
又2^x＞0，即

1+y

1-y

＞0，
解可得-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）
（2）函数f（x）在x∈R上为单调增函数
证明：f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在定义域中任取两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
从而f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函数f（x）在x∈R上为单调增函数．