设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
设数列{an}满足:a1+2a2+3a3+…+nan=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
数学人气:395 ℃时间:2019-08-18 01:40:44
优质解答
(1)∵a
1+2a
2+3a
3+…+na
n=2
n①,
∴n≥2时,a
1+2a
2+3a
3+…+(n-1)a
n-1=2
n-1②
①-②得na
n=2
n-1,a
n=
(n≥2),在①中令n=1得a
1=2,
∴a
n=
(2)∵b
n=
.
则当n=1时,S
1=2
∴当n≥2时,S
n=2+2×2+3×2
2+…+n×2
n-1则2S
n=4+2×2
2+3×2
3+…+(n-1)•2
n-1+n•2
n相减得S
n=n•2
n-(2+2
2+2
3+…+2
n-1)=(n-1)2
n+2(n≥2)
又S
1=2,符合S
n的形式,
∴S
n=(n-1)•2
n+2(n∈N
*)
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