用数学归纳法证明(1*2^2-2*3^2)+(3*4^2-4*5^2)+...+[(2n-1)*(2n)^2-2n(2n+1)^2] =-n(n+1)(4n+3)

按照套路来就行.
1）n=1时,显然成立
2）设n=k时,等式成立,
n=k+1时,(1*2^2-2*3^2)+(3*4^2-4*5^2)+...+[(2k-1)*(2k)^2-2k(2k+1)^2]+[(2k+1)*(2k+2)^2-2(k+2)(2n+3)^2] =-k(k+1)(4k+3)+[(2k+1)*(2k+2)^2-2(k+2)(2n+3)^2]=-(k+1)(k+2)(4n+7)
（这一步硬算就行）
故对所有n=k成立.