已知方程x2+y2-2（t+3）x+2（1-4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的图形是圆． （1）求t的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的方程．

（1）方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0，配方得
（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（4t²-1）²-16t⁴-9
即（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=-7t²+6t+1
∴r²=-7t²+6t+1＞0，解得：−

1

7

＜t＜1
（2）由（1）知r＝

−7t2+6t+1

∴当t=

3

7

∈（−

1

7

，1）时，r有最大值即r=

−7×( 3 7 )2+6× 3 7 +1

=

4

7

7

；
∴rmax＝

4

7

7

，此时圆面积最大，
所对应圆的方程是(x−

24

7

)2+(y+

13

49

)2＝

16

7

．