a |
x |
∴f′(x)=−
a |
x2 |
1 |
x |
x−a |
x2 |
令f'(x)=0,得x=a.
①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.
②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,
当x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna
③若a≥e,则f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值
a |
e |
.综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为
a |
e |
(2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,x∈(0,e],
∴g'(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=
ex |
x |
1 |
x |
由(1)可知,当a=1时,f(x)=
1 |
x |
此时f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln1=0,即
1 |
x |
当x0∈(0,e],ex0>0,
1 |
x0 |
∴g′(x0)=(
1 |
x0 |
曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g'(x0)=0有实数解.(13分)
而g'(x0)>0,即方程g'(x0)=0无实数解.、故不存在x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直.