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求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
求证:关于x的方程x
2
+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
数学
人气:450 ℃
时间:2020-04-30 16:27:16
优质解答
证明:(1)充分性:∵m≥2,∴△=m
2
-4≥0,
方程x
2
+mx+1=0有实根,
设x
2
+mx+1=0的两根为x
1
,x
2
,
由韦达定理知:x
1
x
2
=1>0,∴x
1
、x
2
同号,
又∵x
1
+x
2
=-m≤-2,
∴x
1
,x
2
同为负根.
(2)必要性:∵x
2
+mx+1=0的两个实根x
1
,x
2
均为负,且x
1
•x
2
=1,
∴m-2=-(x
1
+x
2
)-2=-
(x
1
+
1
x
1
)
-2
=-
x
1
2
+
2x
1
+1
x
1
=-
(x
1
+1)
2
x
1
≥0.
∴m≥2.综上(1),(2)知命题得证.
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