已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数． （1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=

解（1）f′（x）=3ax²+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax²+2bx-18．（3分）
又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，
所以-1和3必是f′（x）=0的两个根．
从而

3a−2b−18＝0 27a+6b−18＝0.

解得

a＝2 b＝−6.

（5分）
又根据f（0）=-7，所以f（x）=2x³-6x²-18x-7（7分）
（2）f′（x）=3ax²+2bx+c由条件b²-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分）
因为f'（x）为二次三项式，
并且△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
所以，当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调递增函数；
当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调递减函数．
因此，对任意给定的实数a，函数f（x）总是单调函数．（12分）