已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且 f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性． （1）求 b/a

（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d⇒f'（x）=3ax²+2bx+c
由题意得：f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性
所以f'（0）=0
所以c=0
当c=0时，f'（x）=0的另一个根为x＝−

2b

3a

f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
所以2≤−

2b

3a

≤4，
所以−6≤

b

a

≤−3
由题意得：f（x）=ax³+bx²+d=0的三个不同根为2，x_A，x_C
得f（2）=0
所以d=-8a-4b
f（x）=（x-2）[ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
所以ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二个不同根为x_A，x_C，
所以

△＝(2a+b)(b−6a)＞0

，
解得

b a ＞6或 b a ＜−2

综上得：−6≤

b

a

≤−3…（5分）
（2）假设在函数f（x）的图象上存在一点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M的切线斜率为3b
则 f'（x₀）=3b⇔3ax₀²+2bx₀-3b=0有解（*）
令t＝

b

a

⇒−6≤t≤−3，a，b≠0
得：△=4a²（t²+9t）=4a²t（t+9）＜0与（*）矛盾
在函数f（x）的图象上不存在一点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M的切线斜率为3b…（10分）
（3）由（1）得：

|AC|2＝(xA−xC)2＝(xA+xC)2−4xAxC |AC|2＝ 1 a2 [(2a+b)2−8a(2a+b)] |AC|2＝t2−4t−12＝(t−2)2−16∈[9，48]

…（14分）
所以3≤|AC|≤4

3