已知函数f(x)=xlnx+(a-1)x(a∈R).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[
,e]上的最小值;
(3)若关于x的方程f(x)=2x
3-3x
2在区间[
,2]上有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
(1)当a=1时,f(x)=xlnx,则求导函数,可得f′(x)=lnx+1.
x=1时,f′(1)=1,f(1)=0,
∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1,即x-y-1=0
(2)f′(x)=lnx+a=0,可得x=e
-a,则函数在(0,e
-a)上单调递减,在(e
-a,+∞)上单调递增,
若e<e
-a,则函数f(x)在区间[
,e]上的最小值为f(e)=ae;
若
≤e
-a≤e,则函数f(x)在区间[
,e]上的最小值为f(e
-a)=-e
-a;
若
>e
-a,则函数f(x)在区间[
,e]上的最小值为f(
)=
;
(3)f(x)=2x
3-3x
2等价于xlnx+(a-1)x=2x
3-3x
2,即lnx+(a-1)=2x
2-3x,
∴a=2x
2-3x+1-lnx在区间[
,2]上有两个不相等的实数根,
令g(x)=2x
2-3x+1-lnx,则g′(x)=4x-3-
=
∵x∈[
,2],
∴函数在[
,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
∵g(
)=ln2,g(1)=0,g(2)=3-ln2,
∴a=2x
2-3x+1-lnx在区间[
,2]上有两个不相等的实数根,应满足0<a≤ln2.