求经过A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程． （I）求出圆的标准方程； （II）求出（I）中的圆与直线3x+4y=0相交的弦长AB．

（I）因为圆心C在直线y=-2x上，可设圆心为C（a，-2a）．
则点C到直线x+y=1的距离d′=

|a−2a−1|

2

=

|a+1|

2

据题意，d′=|AC|，则

|a+1|

2

=（a-2）²+（-2a+1）²，
∴a²-2a+1=0
∴a=1．
∴圆心为C（1，-2），半径r=d=2，
∴所求圆的方程是（x-1）²+（ y+2）²=2 
 （II） 圆心（1，-2）到直线3x+4y=0的距离d=

|3−8|

5

＝1，半径r=

2

，
故弦长为|AB|=2

r2−d2

=2，