x(n+1)=√(xnyn)<(xn+yn)/2=y(n+1)
于是0<xn<yn恒成立
y(n+1)=(xn+yn)/2<(yn+yn)/2=yn
于是yn单调减,而yn>0,于是单调减且有下界
于是limyn存在
令limyn=A>0
因为xn<yn,于是xn<A
x(n+1)=√(xnyn)>√(xnxn)=xn
于是xn单调增,而xn<A,于是xn单调增有上界
于是limxn存在
令limxn=B
则limx(n+1)=√(AB)=B>0
得A=B
即limxn=limyn
………………………………
若对xn<A有疑惑可以进一步放大
xn<yn<y1
得xn有上界
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