12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程.其实,该求和公式的直接推导并不复杂,也没有超出初中数学内容.
设:S=12+22+32+…+n2
另设:S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2,此步设题是解题的关键,一般人不会这么去设想.有了此步设题,第一:S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S,(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2,即
S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
第二:S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为:
S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2,其中:
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2
=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得:S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)与(4)得:2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n
即:6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
S= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即:S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数.
由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数.
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数.
1的平方加2的平方加3的平方一直加到n的平方,和为多少
1的平方加2的平方加3的平方一直加到n的平方,和为多少
数学人气:576 ℃时间:2020-02-03 00:20:53
优质解答
我来回答
类似推荐
猜你喜欢
- 1定义域为R的函数f(x)有最大值M 最小值N,则函数y=f(2x)+3的最大值为、最小值为、?
- 2如图所示的电路,A、B、C为三个相同的灯泡,其电阻大于电源内阻,当变阻器的滑动触头P向上移动时( ) A.A灯变亮,B灯和C灯都变暗 B.A灯变亮,B灯变暗,C灯变亮 C.电源释放的总电功率
- 3求Na和K、Ca和Mg、Cl和Fe的所有化学式.
- 4向量组等价和矩阵等价有什么不同
- 5我很害怕我的数学老师,现在数学也越来越差 快到期末了 复习卷我还是错一大堆 我该怎么办
- 6已知sinA=asinB,tanA=btanB,其中B为锐角 求证;cosA=根号(a^2-1)/根号(b^2-1)
- 7问:小明家一家三口年龄之和是86岁.12年前全家年龄之和是51岁.爸爸比妈妈大3岁.小明家现在每人各多少岁
- 8将一个圆分成若干等份,剪开后拼成一个近似的长方形,已知阴影部分的面积是9.42平方厘米,圆的面积是多少
- 9怎么由溶解度求溶剂或溶质的质量,我只记得蔗糖的溶解度为204则他的溶剂质量为304克讲明白
- 10公式法化简逻辑函数,用公式法化简逻辑函数L+ 急用,