设A为n阶正定矩阵,x为任意一个n维实向量,证明不等式0

0 是可以取到的,除非要求 x 非零
非负这部分显然,只要知道正定矩阵的逆也正定即可
小于 1 这部分可以用 Shermann-Morrison 公式:
(A+xx')^{-1} = A^{-1} - A^{-1}xx'A^{-1}/(1+x'A^{-1}x)
再令 y=x'A^{-1}x,那么 x'(A+xx')^{-1}x = y/(1+y) < 1