一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n

这是一个很简单的线代证明了!
因为A^2=A,所以A(A-E)=0
则有：
R(A)+R(A-E)小于等于n
又因为(A-E)+(-A)=-E
则有：
R(-A)+R(A-E)大于等于n
由于R(-A)=R(A)
所以R(A)+R(A-E)大于等于n
由夹逼定理可知：
R(A)+R(A-E)等于n
陈文灯的数学考研辅导有专门介绍,就是一个定理的使用!
相信能够解决您提出的问题!Ｂ＝Ｅ＋ＡＢ，则有：B（E-A）=EＣ＝Ａ＋ＣＡ，则有：C（E-A）=A上面两式相减，得：(B-C)(E-A)=E-A即：(B-C-E)(E-A)=0也就是说，矩阵(B-C-E)(E-A)的秩等于0同时，矩阵(B-C-E)(E-A)的秩小于等于R(B-C-E)和R(E-A)中的最小值。由于E-A不等于0，所以R(E-A)大于等于1那么只能是R(B-C-E)=0即B-C-E=0所以B-C=E请楼主参考！备注：陈文灯的数学考研辅导中都有介绍，楼主看一下即可！