已知定义在R上的函数f(x)=a−1/2x+1是奇函数,其中a为实数. (1)求a的值; (2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性并证明; (3)当m+n≠0时,证明f(m)+f(n)m+n>f(0).
已知定义在R上的函数
f(x)=a−是奇函数,其中a为实数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性并证明;
(3)当m+n≠0时,证明
>f(0).
数学人气:547 ℃时间:2019-11-07 13:52:21
优质解答
(1)∵定义在R上的函数
f(x)=a−是奇函数,
∴f(0)=a-
=0,∴a=
.
(2)由(1)可得,f(x)=
-
,它在定义域R上是增函数.
证明:设x
1<x
2,
∵f(x
1)-f(x
2)=
-
=
,
由题设可得0<
2x1<
2x2,
2x1-
2x2<0,
∴
<0,故函数f(x)在R上是增函数.
(3)由于函数f(x)在R上是增函数,
故函数表示的曲线上任意两点连线的斜率大于零,
故当m≠n时,
>0,
换元可得
>0=f(0),
即
>f(0).
∴要证的不等式成立.
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