若a、b、x、y均为正实数,并且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤(a+b)24.
若a、b、x、y均为正实数,并且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤
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数学人气:620 ℃时间:2019-11-04 09:23:59
优质解答
证明:∵(ax+by)(ay+bx)-ab=a
2xy+b
2xy+abx
2+aby
2-ab
=xy(a
2+b
2)+ab(x
2+y
2-1)
=xy(a
2+b
2)+ab[(x+y)
2-2xy-1].
∵a、b、x、y均为正实数,x+y=1,
∴(ax+by)(ay+bx)-ab
=xy(a
2+b
2)-2abxy
=xy(a-b)
2≥0,
∴ab≤(ax+by)(ay+bx).
又(ax+by)(ay+bx)≤
[]2=
[]2=
()2=
.
∴ab≤(ax+by)(ay+bx)≤
.
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