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已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,f(x)、g(x)都在R上,且f(x)+g(x)=ax,(a>0,a≠1),求证:f(2x)=2f(x)g(x).
已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,f(x)、g(x)都在R上,且f(x)+g(x)=a
x
,(a>0,a≠1),求证:f(2x)=2f(x)g(x).
数学
人气:417 ℃
时间:2019-10-19 22:43:08
优质解答
∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,f(x)、g(x)都在R上,且f(x)+g(x)=a
x
,①,
∴f(-x)+g(-x)=a
-x
,
即-f(x)+g(x)=a
-x
,②,
由①②解得f(x)=
a
x
−
a
−x
2
,g(x)=
a
x
+
a
−x
2
,
则2f(x)g(x)=2×
a
x
−
a
−x
2
×
a
x
+
a
−x
2
=
a
2x
−
a
−2x
2
=f(2x),
∴等式成立.
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