证:
设一实数c,使f(c)=b,
(1)如果c≥a;
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b + ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
得 a*b = ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy
又因 f(x)为[0,+∞)上连续的严格递增函数,则f^-1(x)也是在[0,+∞)上连续的严格递增函数,得
因c≥a,- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
(2)如果 c≤a
∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
= a*b - ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy
由于f^-1(x)也是在[0,+∞)上连续的严格递增函数,则- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy ≥ 0
所以,a*b ≤ ∫(0~a) f(x)dx + ∫(0~b) f^-1(y)dy
等式成立.
另,当- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy 或- ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy 为0时,等号成立.
由于f^-1(x)严格递增,所以当f(c)=f(a)时,即c=a时,有
- ∫(f(c)~f(a)) f^-1(y)dy = - ∫(f(a)~f(c)) f^-1(y)dy = 0
即f(a)=f(c)=b (前面已定义f(c)=b)
设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0证明:ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方)
设f为[0,+∞)上连续的严格递增函数,f(0)=0证明:ab≤∫0到a f(x)dx+∫0到b f-1(y)dy (-1代表负一次方)
当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)
当且仅当b=f(a)时,等号成立(a,b≥0)
数学人气:228 ℃时间:2019-10-30 23:32:43
优质解答
我来回答
类似推荐
猜你喜欢
- 1英文中的“我”为什么要大写?
- 221分之10/12分之11*15分之14=?1/(x+1又3分之2)=5分之4 第一道计算,第二道解方程
- 3如图:△ABC和△ADE是等边三角形,AD是BC边上的中线. 求证:BE=BD.
- 4石灰石可用作( ) ①建筑材料②刻划玻璃③制水泥④制生石灰⑤制二氧化碳⑥刷墙
- 5运动会100米比赛是如果记时员听到发令枪才记时,比看到冒烟记时早还是迟?早或迟多长时间?哪个更准确?
- 6求由曲线y=x平方与y=x所围的成图形的面积
- 7若不等式(1-a)x²-4x+6>0的解集为﹛x︳-3<x<1﹜,b为何值时,ax²+bx+3+≥0的解集为R
- 8(1)焦点在y轴上,焦距为8,渐近线斜率为正负三分之一
- 918、20、89、398、7、52、23、105是质数,还是偶数,还是奇数,还是合数?
- 10如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=Rt∠,∠C=60°,E是BC上一点,且∠ADB=∠BDE=12∠EDC,已知DE=3,则梯形ABCD中位线长为( ) A.154 B.214 C.94 D.3