故f (x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.
又f (0)=1,f (a)=-
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
当f (a)≥-1时,取p=a.
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.
当f (a)<-1时,由于f (0)+1=2>0,f (a)+1<0,
故存在p∈(0,a)使得f (p)+1=0.
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f (x)≤1成立.
综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f (x)≤1.
…(7分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0,+∞)上的最小值为f (a).
当0<a≤1时,f (a)≥-1,则g(a)是方程f (p)=1满足p>a的实根,
即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,所以
g(a)=
3(a-1)+
| ||
4 |
又g(a)在(0,1]上单调递增,故
g(a)max=g(1)=
3 |
当a>1时,f (a)<-1.
由于f (0)=1,f (1)=
9 |
2 |
[0,p]⊂[0,1].
此时,g(a)≤1.
综上所述,g(a)的最大值为
3 |
…(14分)