平面α‖平面β,A,C∈α,B,D∈β,M,N分别为AB和CD的中点,求证:MN‖β.

若AB//CD,结论显然正确.
若AB不平行于CD,过A做AE平行于CD,交β于E,AE中点F
AE与CD共面,则面AEDC与α,β分别交于AC、ED,所以AC//ED
AEDC是平行四边形,所以FN//ED,FN//β
MF是三角形ABE中位线,所以MF//BE,MF//β
面MNF//β
MN//β
(具体定理内容请自行补充一下)