四边形四条边长分别为a,b,c,d,它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形的形状.
四边形四条边长分别为a,b,c,d,它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断四边形的形状.
数学人气:924 ℃时间:2020-03-28 07:28:24
优质解答
由已知可得
a
4+b
4+c
4+d
4-4abcd=0,
所以(a
4-2a
2b
2+b
4)+(c
4-2c
2d
2+d
4)+(2a
2b
2-4abcd+2c
2d
2)=0,
即(a
2-b
2)
2+(c
2-d
2)
2+2(ab-cd)
2=0.
因为a,b,c,d都是实数,
所以(a
2-b
2)
2≥0,(c
2-d
2)
2≥0,(ab-cd)
2≥0,
所
| a2−b2=0 ① | c2−d2=0 ② | ab−cd=0 ③ |
| |
由于a,b,c,d都为正数,所以,解①,②,③有
a=b=c=d.
故此四边形为菱形.
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