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设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为实数). (1)若f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)设a>2,求函数f(x)的最小值.
设函数f(x)=x
2
+|2x-a|(x∈R,a为实数).
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)设a>2,求函数f(x)的最小值.
数学
人气:784 ℃
时间:2019-09-05 01:03:54
优质解答
(1)由已知f(-x)=f(x),即|2x-a|=|2x+a|,解得a=0
(2)
f(x)=
x
2
+2x−a,x≥
1
2
a
x
2
−2x+a,x<
1
2
a
当
x≥
1
2
a
时,f(x)=x
2
+2x-a=(x+1)
2
-(a+1)
由
a>2,x≥
1
2
a
,得x>1,从而x>-1
故f(x)在
x≥
1
2
a
时单调递增,f(x)的最小值为
f(
a
2
)=
a
2
4
当
x<
1
2
a
时,f(x)=x
2
-2x+a=(x-1)
2
+(a-1)
故当
1<x<
a
2
时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减
则f(x)的最小值为f(1)=a-1
由
a
2
4
−(a−1)=
(a−2)
2
4
>0
,知f(x)的最小值为a-1.
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