设抛物线C1:y^2=4mx(m>0)的准线与x轴交于点F1,焦点为F2；椭圆C2以F1、F2为焦点,离心率e=1/2.

设抛物线C1:y^2=4mx(m>0)的准线与x轴交于点F1,焦点为F2；椭圆C2以F1、F2为焦点,离心率e=1/2.
(I)当m=1时：
①求椭圆C2的标准方程；
②若直线l与抛物线交于A、B两点,且线段AB恰好被点P（3,2）平分,设直线l与椭圆C2交于M、N两点,求线段MN的长；
(II)设抛物线C1与椭圆C2的一个交点为Q,是否存在实数m,使得△QF1F2的边长是连续的自然数?若存在,求出这样的实数m的值；若不存在,请说明理由.