已知函数f(x)=x+m/x,且f(1)=2. (1)求m; (2)判断f(x)的奇偶性; (3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.
已知函数f(x)=x+
,且f(1)=2.
(1)求m;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.
数学人气:170 ℃时间:2019-10-19 19:24:43
优质解答
(1)∵f(1)=2,∴1+m=2,m=1.
(2)f(x)=x+
,f(-x)=-x-
=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)函数f(x)=
+x在(1,+∞)上为增函数,证明如下
设x
1、x
2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x
1<x
2,则
f(x
1)-f(x
2)=x
1+
-(x
2+
)=x
1-x
2+(
-
)
=x
1-x
2-
=(x
1-x
2)
.
当1<x
1<x
2时,x
1x
2>1,x
1x
2-1>0,从而f(x
1)-f(x
2)<0,
即f(x
1)<f(x
2).
∴函数f(x)=
+x在(1,+∞)上为增函数.
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