如图，△ABC内接于⊙O，AB=6，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD． （1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos

（1）当BD=AC=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
∵P是优弧BAC的中点，
∴

PB

=

PC

．
∴PB=PC．
又∵∠PBD=∠PCA（圆周角定理），
∴当BD=AC=4，△PBD≌△PCA．
∴PA=PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
（2）过点P作PE⊥AD于E，

由（1）可知，
当BD=4时，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2，
则AE=

1

2

AD=1．
∵∠PCB=∠PAD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AE

PA

=

5

5

，
∴PA=

5

．