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类比平面直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,并证明.
类比平面直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,并证明.
数学
人气:467 ℃
时间:2020-02-18 06:25:04
优质解答
线的关系类比到面的关系,猜测:S
△BCD
2
=S
△ABC
2
+S
△ACD
2
+S
△ADB
2
.
理由如下:
直角空间四面体ABCD中,如图作AE⊥CD连BE,则BE⊥CD.
S
△BCD
2
=
1
4
CD
2
•BE
2
=
1
4
CD
2
(AB
2
+AE
2
)
=
1
4
(AC
2
+AD
2
)(AB
2
+AE
2
)
=
1
4
(AC
2
AB
2
+AD
2
AB
2
+AC
2
AE
2
+AD
2
AE
2
)
=
1
4
(AC
2
AB
2
+AD
2
AB
2
+CD
2
AE
2
)
=S
△ABC
2
+S
△ACD
2
+S
△ADB
2
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