一个不等于1的自然数,它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7

这个数加6是7 的倍数,则意味着这个数减1是7的倍数（即这个数 + 6 - 7是7的倍数）.对其他数同理.
因此,根据题意,这个数减1,
是2、3、4、5、6、7的倍数,也就是说,是2、3、4、5、6、7的公倍数.
求2、3、4、5、6、7的公倍数,只需要看4、5、6、7这4个数,因2、3的整除已包含在6中.
4、6不互质,其最小公倍数是12,
12、5、7两两互素,其最小公倍数（也就是2、3、4、5、6、7最小公倍数） = 12×5×7 = 420
因此,题中所求的数最小是420 + 1 = 421.
在421的基础上,加任意个420,得到的数如841、1261……都满足题意.
补充：2、3、4、5、6、7的公倍数还有一个比较特殊的“0倍数”.对本题来说2、3、4、5、6、7的0倍 + 1 = 1,也满足题中的整除条件,但题目明确排除了自然数1,因为这个解没有什么营养.