f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+
| f″(ξ) |
| 2! |
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
| a+b |
| 2 |
f(x)≤f(
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
将不等式两边从a到b积分可得，
| ∫ | ba |
| ∫ | ba |
| a+b |
| 2 |
| ∫ | ba |
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
=(b−a)f(
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| | | ba |
=(b−a)f(
| a+b |
| 2 |
设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：∫baf（x）dx≤（b-a）f（a+b/2）．
设f（x）在[a，b]上二阶可导，且f″（x）＜0，证明：
f（x）dx≤（b-a）f（
）．
| ∫ | ba |
| a+b |
| 2 |
数学人气：113 ℃时间：2019-08-20 04:10:21
优质解答
证明：∀x，t∈[a，b]，将f（x）在t处展开，可得
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+
(x−t)2．
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
，则有
f(x)≤f(
)+f′(
)(x−
)．
将不等式两边从a到b积分可得，
f(x)dx≤
f(
)dx+
f′(
)(x−
)dx
=(b−a)f(
)+f′(
)[
(x−
)2]
=(b−a)f(
)．
f(x)＝f(t)+f′(t)(x−t)+
因为f″（x）＜0，所以有：
f（x）≤f（t）+f′（t）（x-t）．
令t＝
f(x)≤f(
将不等式两边从a到b积分可得，
=(b−a)f(
=(b−a)f(
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