在三角形ABC中,D为BC边的中点,延长AD至E,延长AB交CE的延长线于P,若AD=2DE,求证AP=3AB

证法一：
过B作BF∥AE交PC于F.
∵BD＝CD,BF∥DE,∴BF＝2DE,［三角形中位线定理］
又AD＝2DE,∴BF/AE＝BF/（AD＋DE）＝BF/（2DE＋DE）＝（1/3）BF/DE.
由BF＝2DE,BF/AE＝（1/3）BF/DE,得：BF/AE＝2/3.
∵BF∥AE,∴△PBF∽△PAE,∴PB/AP＝BF/AE＝2/3.
由分比定理,有：（AP－PB）/AP＝（3－2）/3,∴AB/AP＝1/3,∴AP＝3AB.
证法二：
过D作DG∥CP交AP于G.
∵BD＝CD,DG∥CP,∴GP＝BG.
∵DG∥CP,∴AG/BP＝AD/DE,又AD＝2DE,∴AG/BG＝2.
由合分比定理,有：（AG－BG）/（AG＋BG）＝（2－1）/（2＋1）＝1/3,
∴AB/（AG＋GP）＝1/3,∴AB/AP＝1/3,∴AP＝3AB.
证法三：
令AD的中点为H.
∵AD＝2DE,AH＝DH＝AD/2,∴DH＝DE,又BD＝CD,∴BHCE是平行四边形,∴BH∥PC,
∴AB/AP＝AH/AE＝AH/（AH＋DH＋DE）＝AH/（AH＋AH＋AH）＝1/3,∴AP＝3AB.
证法四：
过D作DJ∥AP交CP于J.
∵BD＝CD,DJ∥BP,∴DJ＝BP/2.
∵DJ∥AP,∴DJ/AP＝DE/AE,∴（BP/2）/AP＝DE/AE.
而AD＝2DE,∴AE＝AD＋DE＝3DE,∴DE/AE＝1/3,∴（BP/2）/AP＝1/3,
∴BP/AP＝2/3,由分比定理,有：（AP－BP）/AP＝（3－2）/3＝1/3,∴AB/AP＝1/3,
∴AP＝3AB.
证法五：
过E作EK∥PA交CD于K.
∵EK∥BA,∴AB/EK＝BD/DK＝AD/DE,又AD＝2DE,∴AB/EK＝BD/DK＝2.
而BD＝CD＝DK＋CK,结合证得的BD/DK＝2,得：（DK＋CK）/DK＝2,∴CK＝DK＝BC/4,
∴CK/BC＝1/4.
∵EK∥PB,∴EK/BP＝CK/BC＝1/4,结合证得的AB/EK＝2,得：AB/BP＝1/2,
由合比定理,有：AB/（AB＋BP）=1/（1＋2）＝1/3,∴AB/AP＝1/3,∴AP＝3AB.
证法六：
过A作AM∥CP交CB的延长线于M.
∵AM∥CE,∴AD/DE＝DM/CD,而AD＝2DE,∴DM/CD＝2,∴DM＝2CD,
显然,有：DM＝BM＋BD,又BD＝CD,∴BM＝DM－CD＝2CD－CD＝CD＝BC/2,
∴BM/BC＝1/2.
∵AM∥CP,∴AB/BP＝BM/BC＝1/2,由合比定理,有：AB/（AB＋BP）＝1/（1＋2）＝1/3,
∴AB/AP＝1/3,∴AP＝3AB.
证法七：
∵BD＝CD,∴△ABD的面积＝△ACD的面积.
∵AD＝2DE,∴△ACD的面积＝2△ECD面积.
∴△ABD的面积＝2△ECD面积,∴△ECD面积＝△ABD的面积/2.
∵AD＝2DE,∴△PAD的面积＝2△PDE的面积,∴△PDE的面积＝△PAD的面积/2.
显然,有：△PCD的面积＝△ECD面积＋△PCD的面积＝△ABD的面积/2＋△PAD的面积/2.
∵BD＝CD,∴△PBD的面积＝△PCD的面积.
∴△PBD的面积＝△ABD的面积/2＋△PAD的面积/2.
∴△PAD的面积＝2△PBD的面积－△ABD的面积
　＝3△PBD的面积－（△PBD的面积＋△ABD的面积）＝3△PBD的面积－△PAD的面积
∴2△PAD的面积＝3△PBD的面积,
∴△PBD的面积/△PAD的面积＝2/3,而△PBD的面积/△PAD的面积＝BP/AP,∴BP/AP＝2/3,
由分比定理,有：（AP－BP）/AP＝（3－2）/3,∴AP＝3AB.