在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x． （1）当点G与点D重合时，求x的值； （2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．

（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合，
∵矩形ABCD中，AC⊥BG，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BC=4，
∴x=AB=BC=4；
（2）∵点F为AD中点，且AD=BC=4，
∴AF=

1

2

AD=2，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，
∴△AEF∽△CEB，
∴

AE

CE

=

FE

BE

=

AF

CB

=

2

4

=

1

2

，
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，AB=x，
分别由勾股定理得：AC²=AB²+BC²，BF²=AF²+AB²，即（3AE）²=x²+4²，（3FE）²=2²+x²，
两式相加，得9（AE²+FE²）=2x²+20，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE²+FE²=AF²=4，
∴36=2x²+20，
解得：x=2

2

或x=-2

2

（舍去），
故x=2

2

；
∵F为AD的中点，
由对称性得到BF=CF，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴

EF

EB

=

AF

CB

=

1

2

，
∴sin∠ECF=

EF

CF

=

EF

BF

=

1

3

．