【题目】
已知在△ABC中,∠CAB=2α,且0<α<30°,AP平分∠CAB,若∠ABC=60°-α,点P在△ABC的内部,且使∠CBP=30°,求∠APC的度数(用含α的代数式表示).
【解法一】
延长AC至M,使AM=AB,连接PM,BM(如图1)
∵AP平分∠CAB,∠CAB=2α
∴∠1=∠2= α
在△AMP和△ABP中:
∵AM=AB,∠1 =∠2,AP=AP
∴△AMP≌△ABP
∴PM=PB,∠3 =∠4
∵∠ABC=60°-α,∠CBP=30°
∴∠4=(60°-α)-30°=30°-α
∴∠3 =∠4 =30°-α
∵△AMB中,AM=AB
∴∠AMB=∠ABM=(180°-∠MAB)÷2 =(180°-2α)÷2 =90°-α
∴∠5=∠AMB-∠3= (90°-α)-(30°-α)=60°
∴△PMB为等边△
∵∠6=∠ABM-∠ABC = (90°-α)-(60°-α)=30°
∴∠6=∠CBP
∴BC平分∠PBM
∴BC垂直平分PM
∴CP=CM
∴∠7 =∠3 = 30°-α
∴∠ACP=∠7+∠3=(30°-α)+(30°-α)=60°-2α
∴△ACP中,∠APC=180°-∠1-∠ACP
=180°-α-(60°-2α)
=120°+α
【解法二】
在AB上截取AM,使AM=AC,连接PM,延长AP交BC于N,连接MN(如图2)
∵AP平分∠CAB,∠CAB=2α
∴∠1=∠2=α
在△ACN和△AMN中:
∵AC=AM,∠1 =∠2, AN=AN
∴△ACN≌△AMN
∴∠3 =∠4
∵∠ABC=60°-α
∴∠3=∠2+∠NBA=α+(60°-α) =60°
∴∠3 =∠4 =60°
∴∠5=180°-∠3-∠4=180°-60°-60°=60°
∴∠4 =∠5
∴NM平分∠PNB
∵∠CBP=30°
∴∠6=∠3-∠NBP=60°-30°=30°
∴∠6=∠NBP
∴NP=NB
∴NM垂直平分PB
∴MP=MB
∴∠7 =∠8
∴∠6+∠7 =∠NBP+∠8
即∠NPM=∠NBM =60°-α
∴∠APM=180°-∠NPM =180°-(60°-α)=120°+α
在△ACP和△AMP中:
∵AC=AM, ∠1 =∠2, AP=AP
∴△ACP≌△AMP
∴∠APC=∠APM
∴∠APC=120°+α
已知:在三角形ABC中,角CAB=2a.且a大于零度,小于30度,AP平分角CAB,P为三角形内部一点,连接AP,BP,CP.若角ABC=60--a,且角CBP=30度,求角APC(用含a的代数式表示)
已知:在三角形ABC中,角CAB=2a.且a大于零度,小于30度,AP平分角CAB,P为三角形内部一点,连接AP,BP,CP.若角ABC=60--a,且角CBP=30度,求角APC(用含a的代数式表示)
我表弟问我的……他寒假作业,
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