在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A+C≤2B,求证(1)a+c≤2b （2）a2+c2≤2b2（3）a4+c4≤2b4

这里条件A+C<=2B,等价于B>=60,而给定a,c,当B=60的时候如果成立,当B>60的时候也成立
也就是说只需要证明B=60的时候即可
令三个证明中1）可以推出2）,2）可以推出3）
方法如下：若a+c<=2b,则(a+c)^2<=4b^2,只需证b^2>=ac即可
即只需证明b/a>=c/b
等价于证明sinB/sinA>=sinC/sinB
注意到B=60,所以只需证明4sinAsinC<=3即可,其中A+C=120
由积化和差公式4sinAsinC=2[cos(A-C)-cos(A+C)]=2cos(A-C)+1<=3
等号成立当且仅当A=C
由b^2>=ac,同样可以由2）推出3）
下面证明1）
由余弦定理,(a^2+c^2-b^2)/2ac=cosB=1/2
得到a^2+c^2-b^2=ac,
所以有(a+c)^2=b^2+3ac<=4b^2,这里用到已经证明的b^2>=ac
即得a+c<=2b,等号成立当且仅当A=B=C