已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0,2),B(-1,0).
(1)求点C的坐标;
(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴;
(3)设点P(m,n)是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标.
(1)∵∠AOB=∠BAC=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°,∠ABO+∠ACB=90°,
∴∠BAO=∠ACB,
又∵∠AOB=∠COA=90°,
∴△ABO∽△CAO,
∴
=
,即OA
2=OB•OC,
∵A(0,2),B(-1,0),即OA=2,OB=1,
∴OC=4,
则C(4,0);
(2)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4),
将A(0,2)代入得:2=-4a,即a=-
,
则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-
(x+1)(x-4)=-
x
2+
x+2,对称轴为直线x=
;
(3)连接AP,CP,过P作PQ⊥x轴,交x轴于点Q,
将x=m代入抛物线解析式得:n=-
m
2+
m+2,
∵OA=2,OC=4,OQ=m,PQ=-
m
2+
m+4,QC=4-m,
∴S=S
△APC=S
梯形APQO+S
△PQC-S
△AOC=
×m×(2-
m
2+
m+4)+
×(4-m)×(-
m
2+
m+4)-
×2×4=-m
2+4m+4=-(m-2)
2+8,
∵S关于m的二次函数解析式中二次项系数为-1<0,即抛物线开口向下,
∴当m=2时,S最大值为8,此时P(2,3).