等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2=2px(p>0),O是抛物线的顶点,OA⊥OB,则△OAB的面积为 _ .
等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2=2px(p>0),O是抛物线的顶点,OA⊥OB,则△OAB的面积为 ___ .
数学人气:712 ℃时间:2019-10-17 04:52:09
优质解答
设等腰直角三角形OAB的顶点A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则
y12=2px
1,
y22=2px
2,
由OA=OB得:
x12+
y12=
x22+
y22,
∴
x12-
x22+2px
1-2px
2=0,即(x
1-x
2)(x
1+x
2+2p)=0,
∵x
1>0,x
2>0,2p>0,
∴x
1=x
2,即A,B关于x轴对称.
∴直线OA的方程为:y=xtan45°=x,由
解得
或
,
故AB=4p,
∴S
△OAB=
×2p×4p=4p
2.
故答案为:4p
2.
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