如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F． （1）计算：AD=_，EF=_（用含a的式子表示）； （2）求证：DE=DF．

（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=a，∠B=60°，
又D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD=

1

2

a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=

AB2−BD2

=

3

2

a；
在Rt△EBD中，∠EDB=30°，
∴EB=

1

2

BD=

1

4

a，AE=AB-EB=

3

4

a，
同理得到AF=

3

4

a，
∴

AE

AB

=

AF

AC

=

3

4

，且∠EAF=∠BAC=60°，
∴△AFE∽△ACB，
∴

EF

BC

=

3

4

，
则EF=

3

4

a；
故答案为：

3

2

a；

3

4

a；
（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．