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设函数y=f(x)对于x>0有意义,且满足条件:f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在(0,+∞)上为增函数, ①证明:f(1)=0; ②求f(4)的值; ③如果f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.
设函数y=f(x)对于x>0有意义,且满足条件:f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在(0,+∞)上为增函数,
①证明:f(1)=0;
②求f(4)的值;
③如果f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.
数学
人气:935 ℃
时间:2019-10-17 03:21:16
优质解答
①令x=1代入题中条件,得f(y)=f(1)+f(y) 得f(1)=0;
②令x=y=2代入题中条件,
得f(2×2)=f(2)+f(2),得f(4)=2f(2)
∵f(2)=1,∴f(4)=2f(2)=2
③∵f(x)+f(x-3)≤2,
∴f(x(x-3))≤f(4)
结合f(x)在(0,+∞)上为增函数,可得
x(x−3)≤4
x>0
x−3>0
解之得 3<x≤4,实数x的取值范围为(3,4].
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