如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵

BE＝CE ∠B＝∠C BP＝CQ

，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴

BP

CE

＝

BE

CQ

，
∵BP=a，CQ=

9

2

a，BE=CE，
∴

a

CE

＝

CE

9 2 a

，
∴BE=CE=

3 2

2

a，
∴BC=3

2

a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ-AC=

3

2

a，PA=AB-BP=2a，
在Rt△APQ中，PQ=

AQ2+AP2

=

5

2

a．