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已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是( ) A.[14,13) B.(0,12) C
已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x
2
,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是( )
A.
[
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4
,
1
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)
B.
(0,
1
2
)
C.
(0,
1
4
]
D.
(
1
3
,
1
2
)
数学
人气:688 ℃
时间:2019-08-21 21:02:47
优质解答
∵函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),故有f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为2的周期函数.再由f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x
2
,
可得当x∈[-1,0]时,f(x)=x
2
,故当x∈[-1,1]时,f(x)=x
2
,当x∈[1,3]时,f(x)=(x-2)
2
.
由于函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,故函数y=f(x)的图象与直线y=kx+k 有4个交点,如图所示:
把点(3,1)代入y=kx+k,可得k=
1
4
,数形结合可得实数k的取值范围是 (0,
1
4
],
故选C.
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